Признаю, что я это сделал. = Подтверждаю (соглашаюсь), что я это сделал.
Признаюсь, что я это сделал. = Сообщаю (даю показания и т.п.), что я это сделал.
Смысл обоих фраз очень близкий, разница в ньюансах.
В других контекстах слова могут давать и совершенно разные значения:
Признаюсь вам в любви.
Признаю ваше превосходство надо мной в этом деле.
(в этих предложениях заменить Признаюсь <-> Признаю нельзя)
Признаю, что я это сделал. = Да, я это сделал
(более нейтральный оттенок смысла)
Признаю = соглашаюсь
Признаюсь, что я это сделал. = Вынужден согласиться, что я это сделал
(более негативный оттенок смысла)
Признаюсь = рассказываю что-то вопреки своему желанию (под давлением), неохотно