mientras (a la vez que) -> while, meanwhile, whereas, as logn as

Ejemplo:

Mientras el gato duerme, los ratones juegan.

While the cat is sleeping, the mice play.

mientras tanto (entre tanto) -> meanwhile, in the meantime.

Ejemplo:

Limpia el polvo que, mientras tanto, yo barro la cocina.

You clean up the dust. Meanwhile, I'll sweep the kitchen.

El "mientras tanto" lo usamos para dar un poco más de énfasis a la oración, es decir dar opciones, ejemplo: 

El próximo año hablare inglés como un nativo mientras tanto seguiré estudiando muy duro.

El próximo año hablare inglés como un nativo mientras voy a seguir estudiando muy duro.