Las dos quieren decir que hay algo que se debe hacer. La primera ("Tengo que") especifica que YO tengo que hacer algo. La segunda ("hay que") no especifica quien debe hacerlo.

"Tengo que" se usa cuando tú tienes que hacer algo, por ejemplo: "Tengo que lavar los platos". Es una obligación. "Hay que" es más general, es decir, tú lo usas para decir que algo tiene que ser hecho por alguien, ese alguien eres tu y otras personas, por ejemplo: "Mi hermano me dice: Hay que terminar el juego"; él usa el "hay que" para incluirse el mismo como sujeto y a la vez incluirme a mi, es decir, terminar el juego, la acción, tiene que ser hecha por ambos, no solo él, no solo yo, ambos, juntos. :D

Ladiferencia es que "Tengo que " se refiere a "Yo tengo que hacer", en cambio "Hay que" se puede ocupar para mas personas como por ejemplo " Hay que correr, refiriendoce a nosotros tenemos que correr o a alguien tiene que correr" .