Esa es una buena pregunta (y difícil):
Primero unas correciones: el verbo "tenemos" (we have) es el presente de "tener". Para el pasado se utiliza "tuvimos" (we had).
Y en el segundo caso, lo correcto sería:
- Aquella fue una lección útil, la que tuvimos hace un año
- Aquello fue una lección útil, la que tuvimos hace un año
Esto se puede traducir como "that one was an useful lesson, the one we had one year ago".
Respecto a cuando deberías usar el demostrativo antes del verbo, supongo que la respuesta es la misma que en inglés:
- Este carro es lindo = This car is nice
- Este es un lindo carro = This is a nice car
En mi opinión, la segunda oración enfatiza más el demostrativo, de manera que se le podría dar un sentido excluyente. Como diciendo "a diferencia de los otros, este es un lindo carro". Cuando alguien quiere utilizar un demostrativo con sentido excluyente, a veces se suele oir "ESTE (tono fuerte) es un lindo carro (tono más suave)". Este tipo de énfasis no se puede hacer con la primera oración.
Lo mismo para el segundo ejemplo:
- Aquella lección que tuvimos hace un año es útil
- Aquella fue una lección útil, la que tuvimos hace un año (no las otras)
Respecto a la segunda pregunta, el demostrativo neutro lo utilizas para responder la pregunta "¿qué es esto?" -> "esto es un lindo carro". Es como decir, "esto es un carro" solo que agregas el adjetivo "lindo". Así que se podría decir que el demostrativo neutro le agrega un sentido explicativo a la oración, aclarando que es.