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1) Os verbos estão no conjuntivo sim. =P Deves ter confundido porque os verbos de primeira conjugação (aqueles terminados em -ar) terminam em 'am' no presente do indicativo de terceira pessoal do plural ('matam'), enquanto terminam em 'em' no presente do conjuntivo para a mesma pessoa ('matem'). É o inverso para os verbos de segunda (terminados em -er) e terceira (terminados em -ir) conjugações. Claro, falando de verbos regulares aqui.
2) Porque se está contando uma história, um fato, um acontecimento. Ao iniciar uma ideia com um verbo no passado, os demais verbos relacionados a essa ideia devem ser adequadamente utilizados no pretérito perfeito ou imperfeito — dependendo da sua aplicação (foram ações finalizadas? Interrompidas? Simultâneas a outras? Hábitos antigos? Etc.) — ou no condicional (também chamado de 'futuro DO PRETÉRITO' na gramática brasileira, o que faz total sentido), caso o verbo em questão se refira a uma ideia FUTURA em relação àquele PASSADO.
Logo, ao dizer que alguém PERGUNTOU algo a outro alguém, joga-se a ideia no passado; ir à fundação é uma ideia FUTURA em relação a esse PASSADO, logo, precisa-se do condicional: daí, podem-se usar tanto o condicional próprio em si, 'visitaria', ou a construção com o verbo 'ir' conjugado no pretérito imperfeito mais o verbo principal no infinitivo, 'ia visitar'; têm o mesmo valor. Sim, a frase também poderia utilizar o futuro (seja a conjugação futura normal ou a construção com o verbo 'ir' no presente mais o verbo principal no infinitivo): 'Ela perguntou-me quando é que eu [visitarei / vou visitar] a fundação.' Neste caso, porém, a ideia é futura em relação ao PRESENTE (quando se está falando essa frase), o que significa que a pessoa ainda não visitou a fundação. Utilizando o condicional, não se tem como saber se a pessoa já visitou ou não, a priori; apenas se cria uma associação entre o momento no passado em que a pergunta foi feita e a visita à fundação.