Hola Julio,
Para entender bien este texto tienes que estar al corriente de lo que está pasando en España estos días.
Voy a explicar el significado de las expresiones en este contexto.
El presidente del gobierno va a presentar una demanda a título particular: Pedro Sánchez va a demandar ( a alguien) en su nombre, como un ciudadano normal, no a título de presidente del gobierno.
El gobierno no va a pillarse los dedos: el gobierno va a ir con cuidado y no se va a arriesgar a cometer una equivocación que pueda acarrearle perjuicios.
Pedro Sánchez va a demandar a los medios de comunicación que le acusan de haber plagiado en su tesis doctoral.
Espero que esto te ayude