Is there any big difference between these sentences?
Is there any big difference between these 3 sentences?

어제는 비가 오더니 오늘은 눈이 오네요.
어제는 비가 왔는데 오늘은 눈이 오네요.
어제는 비가 왔지만 오늘은 눈이 오네요.

Also: Is the grammar form -더니 commonly used in the everyday speech?

Question

Is there any big difference between these sentences?
Is there any big difference between these 3 sentences?

어제는 비가 오더니 오늘은 눈이 오네요. 
어제는 비가 왔는데 오늘은 눈이 오네요.
어제는 비가 왔지만 오늘은 눈이 오네요.

Also: Is the grammar form -더니 commonly used in the everyday speech?

Answer

It's a matter of nuance, so I can't explain very clear, but...

어제는 비가 오더니 오늘은 눈이 오네요.
(It's snowing today. But yesterday it rained, didn't it?)

어제는 비가 왔는데 오늘은 눈이 오네요
(It rained yesterday, yet today is snowing.)

어제는 비가 왔지만 오늘은 눈이 오네요.
(Though it rained yesterday, today is snowing.)