Он просит - это значить человек просит дать ему что то. - например "Он просит воды", "Он просит денег"
Он спрашивает - человеку нужна информация. например "Он спрашивает как пройти к метро", "Он спрашивает, не видел ли кто нибудь его книгу"
Можно также сказать "Он просит дать ответ", но тут ключевое слово "дать".
То есть спрашивать - это всегда задавать вопрос в надежде получить ответ. Просить - обращаться к кому то в надежде получить что-то.