Нет, "засор" не подходит именно по той причине, что привел drasvi: сор = мелкий мусор, т. е. не совсем тот тип препятствия, который мы имеем в виду. Засор обычно возникает в процессе эксплуатации какого-либо искусственного объекта, чаще всего труб. Засориться могут, например, канализационная труба, смеситель, капиллярная трубка холодильника и т. д.
Русский язык в данном вопросе почему-то довольно щепетилен, поэтому субстанция, мешающая дыханию, в таких случаях не упоминается в принципе. Обычно говорят "у меня заложен нос" ("заложен" означает что-то вроде closed up/blocked в английском -- например, можно заложить дверь кирпичом = to brick up a door), но в моем детстве ещё говорили "у меня забит нос" = my nose is stuffed up.
Если очень хочется употребить именно существительное, то да, можно сказать "у меня насморк". Правда, слово "насморк" может означать и очень легкую форму ринита, необязательно что-то настолько серьезное, что невозможно дышать носом в принципе.