È lo stesso verbo pronominale ma riferito a due soggetti diversi. In italiano esistono forme verbali in cui alla radice del lemma (es: andare), si aggiunge una desinenza che si chiama pronome clitico (es: si, se, sene, mene, ela ecc). “Andarsene” si riferisce alla terza persona singolare e sostituisce “lui se ne va”, ma può essere usato anche come espressione idiomatica per riferirsi alla prima persona plurale (Es: Meglio andarsene = meglio che noi andiamo via). “Andarmene”, invece, si riferisce alla prima persona singolare e significa “vado via”. Spero di essere stato esaustivo, bella domanda comunque 😁

Sono la stessa cosa, ma si riferiscono a persone diverse, alla terza (andarsene) o alla prima persona singolare (andarmene). – (io) voglio andarmene / me ne vado / ... – (tu) devi andartene / te ne vai / vattene! / ... – (lui/lei) pensa di andarsene / se ne va / ... ecc.