Tengo sueño

"tengo sueño" está bien, aunque también puedes decir "estoy somnoliento". Esta expresión es un poquito más formal. Saludos :-)

Sí, tengo sueño es la traducción correcta

Estoy que cayéndome (I'm dropping off)

hola por aca en Mexico se dice, "tengo sueño" o mas informal seria, "me caigo/muro de sueño"