It's an idiom. An ironic or sarcastic expession, which means that [a (disagreement/quarrel/misunderstanding) is resolved, but ] ...the unpleasant emotion lingers on

Не могу не добавить классический анекдот к ответам предыдущих ораторов: Звонит Абрам Ивану: - Иван, ты больше к нам в гости не ходи. - Почему? - Понимаешь, вчера после твоего ухода у нас пропала серебряная ложечка… - Да ты что, Абрам, я не брал! Как ты мог такое подумать! - Знаю. Мы с Сарой ложечку через минуту нашли. Но осадочек остался.

I agree with Michael. It means after-pains, unpleasant aftertaste after some situation. Осадочек comes from осадок. Осадочек is a pet-name. Literally it means sediment. Осадок остался. Literally it means that there is a sediment left. У меня остался неприятный осадок после нашего разговора. Мы помирились, но осадок после ссоры остался. На душе неприятный осадок после того случая.

То есть обиделся (или обиделась).