В разговорах вопрос задают и такой (можете говорить и так). Точно так же форму "чаю" можно употреблять с совершенными глаголами (выпить, попить). Но если употребляете несовершенный глагол "пить", нужно использовать именительный падеж, поэтому: Я не пью ни чай, ни кофе.

Both are correct. Same rule applies to pairs сахара/сахару, бензина/бензину, кваса/квасу, etc. That's a rare example of partitive case in the Russian language. (Yes, there are more than 6 cases in Russian, but they are not taught at school, used very rarely, and very few native speakers other than professional linguists know about them). You may find more details there http://russian.stackexchange.com/questions/194/Чаю-vs-чая-what-ending-is-correct

В данном случае нет разницы :)