비추다 and 비치다 are two distinct words rarely used interchangeably.
* 비추다 is mostly transitive and means "to illuminate" or "to project or reflect at something".
1. illuminate - 햇살이 창문을 환히 비추었다. 손전등을 비추며 밤길을 걸었다.
2. project (physical) - 그는 자기 모습을 거울에 비춰 보았다.
3. judge by (figurative) - 과거의 경험에 비추어 판단했다.
* 비치다 is predominantly intransitive. Its base meaning is "show (through)".
1. light up (receive a lighting) - 창문에 햇살이 환히 비쳤다.
2. (an image or silhouette) appears or become visible - 누군가의 그림자가 벽에 비쳤다.
3. (an intention or feeling) comes across a certain way to others - 지나친 친절은 아부로 비칠 수도 있다.
4. (vt) subtly show one's intention or feelings to others (= 내비치다). 그는 아내에게 자기 계획을 비쳤다.
* an example in which the two may be interchangeable.
1. 마당에 달빛이 휘영청 비치고 있었다.
2. 달빛이 마당을 휘영청 비추고 있었다.
3. 마당에 달빛이 휘영청 비추고 있었다.
Strictly speaking, only 1 and 2 are correct, but it seems 3 is also commonly used.
In addition, many native speakers mix up these words. And even when they don't, they can sound very much alike when spoken fast.