Mellizo es cuando la madre embarazada tiene a los bebés en diferente bolsa. Gemelos es que los bebés van en la misma bolsa.

Los gemelos son idénticos, los mellizos no lo son, pero sí nacieron juntos (homocigotos, heterocigotos).

Si lo que preguntas es el significado normal que un hablante castellano entiende por esos términos te vas a encontrar muchas respuestas distintas. Puedes mirar en el siguiente enlace si te interesa el tema: https://es.wikipedia.org/wiki/Gemelo_(biolog%C3%ADa)

Mellizos son que nacen de la misma madre pero no son iguales, mientras que los gemelos sí.

¿No sería más correcto hablar sobre "monocigótico" y "dicigóticos"?

En España heterocigótico(/homociótico) significa que para un gen dado, su homólogo es distinto(/igual). Ej: el gen de la hemofilia.

No sé si en otros países de habla hispana cambia =/

(Quería preguntarle al profesor Sergio, pero creo que metí la pata :D)