Hallo Sophie, Aquí un par de ejemplos sobre cuándo se usa una forma u otra: No le gustaba ir a pasear al parque. Cada vez que la invitábamos decía que no. No sabíamos por qué, hasta que descubrimos que el problema era que no le gustaban los perros. Le llevamos un perro el día de su cumpleaños y terminó llorando. Fue un desastre. El problema fue que no le gustaban los perros. Saludos, Antonio

Las dos son posibles, dependen de la intención del hablante y del contexto. El imperfecto (era) nos acerca psicológicamente, da sensación de describir una circunstancia. El indefinido (fue) nos separa del momento, lo cierra como una acción totalmente finalizada

Ambas respuestas son correctas porque no hay contexto. Saludos.

El problema fue que ________ El problema era la comunicación

Valen las dos. No hay mucha diferencia. Aunque dependiendo del contexto puede sonar una mejor que otra.