Не совсем понятен ваш вопрос. Оба ваши примера правильные и разница между ними такая же как между их английскими переводами.

Я скучаю по дому означает, что вы находитесь где-то далеко, вы грустите, что не видите превычную обстановку, друзей, родных и т.п. Like in English 'I miss my hometown' Мне скучно.. Например, вы пришли на вечеринку, она скучная: нет знакомых, нет развлечений. Вы говорите: "Мне скучно! Я ухожу". Like in English I'm bored

оба варианта не являются неправильными, HOWEVER - если вы говорите о человеке, то в случае "я скучаю по тебе" вы получаете более романтизированный подтекст, а в случае "мне скучно без тебя" - более бытовой.

Никакой разницы. Можно сказать "я скучаю" в смысле I miss и в смысле I am bored. Контекст разговора определяет, что вы хотите сказать. Если контекста нет и человек говорит "я скучаю", это будет означать I miss you, someone, home and so on. "Я скучаю" для I am bored без контекста употребляется редко. Чаще говорят "мне скучно".

оба варианта не являются неправильными, HOWEVER - если вы говорите о человеке, то в случае "я скучаю по тебе" вы получаете более романтизированный подтекст, а в случае "мне скучно без тебя" - более бытовой.