(1)
「買ったものをしまう」が一番近いと思います。
ですが、質問の内容のように
「野菜を冷蔵庫に入れる」or「野菜を冷蔵庫にしまう」
「お菓子を戸棚に置く」or「お菓子を戸棚に入れる」
など、物や、しまう場所によって具体的にいうことも多いです。
(2)
スーパーで買ったものは、まとめて「買い物」と言って問題ありません。
「食料品(しょくりょうひん)」:野菜、果物、お菓子など
や
「日用品(にちようひん)」:歯ブラシ、シャンプー、ティッシュなど
も よく使われる言葉です。
*「日常品」とはあまり言わず、「日用品」のほうが一般的な使い方です。
* スペイン語の "el pañuelo de papel" は、「ティッシュ」(comes from 'tissue' in English) といいます。「ちり紙」は少し古い日本語で今はあまり使われていません。(もちろん、意味はわかります!)