Pues eso podría tener muchos significados depende el país que visites, pero en mi país sacar el pecho es como "Defender algo" por ejemplo.. "Estados Unidos Saca el pecho con sus aviones de combate" no es like showing off si no más bien demostrando que es el que manda "Los soldados sacan el pecho por su patria"

Sí, también hay una frase muy parecida: "Sacar algo del pecho", que significa desquitarse por algo, decir un comentario negativo que no puede guardar para si mismo.