"Tivesse" é o pretérito imperfeito do subjuntivo e diz respeito a um passado vago onde não se imagina facilmente um princípio e um fim. "Tivesse tido" é o pretérito mais-que-perfeito do subjuntivo e diz respeito a um passado anterior a outro ponto do passado ou a um evento supostamente já concluído no passado. Se eu tivesse dinheiro comprar-te-ia um presente. Se antes do Natal eu tivesse tido dinheiro, ter-te-ia comprado um presente. Há muitas situações onde podemos aplicar os dois indistintamente. Depende do ponto de vista. Em algumas ocasiões, no entanto, é obrigatório um emprego só de um deles.

Tivesse é o modo subjuntivo do verbo é algo condicional, na primeira frase você está usando o presente do subjuntivo, você está falando de algo que poderia acontecer no presente. Na segunda frase, você está falando também no subjuntivo, mas agora no passado. Então são mais condições ainda, você está falando de algo que você poderia ter, mas no passado. Como já dito: depende de quando seria esse cachorro. :)

Depende muito do que quer dizer, mas no geral usará "tivesse"