Es sind keine Synonyme!
Ich habe ihn extra gestoßen, weil er so gemein zu mir war. Umgangssprache!
Ich habe ihn absichtlich gestoßen, weil er so gemein zu mir war. OK
Ich habe ihn speziell gestoßen, weil er so gemein zu mir war. falsche Verwendung von 'speziell'
Ich habe den Kuchen extra für dich gebacken. OK
Ich habe den Kuchen absichtlich für dich gebacken. sagt niemand! (jedenfalls niemand, den ich kenne)
Ich habe den Kuchen speziell für dich gebacken. OK
1. und 3. Satz bedeuten das Gleiche.