4つの読み方は現代では互いに無関係と思われています。
しかし「上」と「髪」については、語源的に同根(=互いに関係がある)という節が有力です。
髪(カミ)は「体の上(カミ)の方、つまり頭にあるのでカミ」ということです。
なお、「はつ、しん、し」は、音読み、つまり「中国から輸入した音」です。
髪(かみ)、上(かみ、うえ)、神(かみ)は、訓読み、つまり「日本に最初からある音」です。
紙(かみ)については、一見、訓読みに見えますが、実は中国の単語「簡(当時の発音はkamに近い音)」が起源です。なので、音読みです。
つまり「かみ:髪、上、神、紙」のうち、「紙」だけは別物です。