Займусь - это форма глагола "заняться" (1 лицо единст. числа, будущее время). Заняться = начать что-то делать, приступить к чему-то. Т.е. здесь имеется в виду "Я лично начну решать этот вопрос (или эту проблему)".

Займусь - будущее время, я (1 лицо, единственое число) от слова "заняться" Заняться - to take care of smth. I will personally take care about it. Synonym: позаботиться

Возьму этот вопрос на себя.

сделаю что-либо, выполню какую-либо работу

Это значит, что я займусь этим и решу вашу проблему. Не беспокойтесь.