Hola, el sentido es muy próximo, pero en la primera se enfatiza el papel activo del hablante. Quizás en los próximos ejemplos se vea más claro: Empecé a trabajar (simplemente se informa que en un momento dado comencé esa actividad) Me puse a trabajar (tomé la decisión/adopté la actitud necesaria para iniciar la acción).

Hola Peter, hace ya tiempo que no estoy por aquí. Aunque las dos frases son correctas, la idea que quieres transmitir yo quizá la hubiese puesto así: " Comencé a disfrutar del paseo". La segunda frase es la más parecida a ésta que yo te he puesto. La primera, si solo quieres transmitir la idea del disfrute, es menos adecuada, "me puse" da la idea de que es provocado por ti, de que comenzaste a disfrutar del paseo por que lo quisiste tú, en cambio cuando usas "comencé" o "empecé" el disfrute te puede venir por causas externas como por ejemplo porque viste un pequeño río, porque había mucha vegetación, porque tu mujer te dio un beso, etc. Muchos saludos.