Entrambe indifferentemente. Solo nel caso tu volessi dire "Ti ringrazio di cuore..." allora ti consiglierei il "per" così da evitare una cacofonia. "Ti ringrazio di cuore per avermi invitato" :-) "Ti ringrazio _di_ cuore _di_ avermi invitato" :-| ... ma non sarebbe in nessun modo sbagliato.

per l'invito.

Both are correct.

You can say both ways!

Before a verb in the infinitive form, it is quite ugly (and wrong) to use /di/. Examples: -- ti ringrazio per avermi invitato. -- ti ringrazio per aiutarmi a evadere dal carcere, speriamo di trovare un bel tempo fuori. If you use /per/ I think you will be right 100 % of the time even before nouns. -- grazie per la lettera che mi hai scritto. -- ti ringrazio dell'invito, ci fa molto piacere. Better: -- ti ringrazio per l'invito, ci fa molto piacere.