Yo tampoco conocía la palabra "estadía" hasta el día de hoy. Creo que se usa en América Latina. Significa "estancia" o "permanencia" durante cierto tiempo en un lugar. Ambas palabras son usadas en España. Según el diccionario un sinónimo de "estadía" es "estada" . Curiosamente únicamente uso "estada" en catalán pero no la uso en castellano.

Yo soy española y creo que no he utilizado "estadía" jamás. I am spanish and I think that I have never used "estadía".

Yo uso y he escuchado las dos, en mi opinión "estadía" suena más formal y sería la palabra que usaría en un ensayo, mientras que estancia le doy un uso más informal como en una conversación cotidiana.