「言っておく」はある目的のためにあらかじめ(今から準備するために)「何かを言う」ということです。「言っといて」は口語的な表現で、正しくは「言っておいて」です。(= 言っておく + 依頼「言っておいてください」の「ください」を省略したものです。) 「応援しておく」はチームが勝つ目的のために「応援する」ことで、「応援しといて」(しておいて)は「応援しておいてください」の「ください」が省略されていますが、応援することを依頼している表現です。

誰がする動作なのかが変わります。 また「しておいて」は相手に依頼する文章です。 (私が)応援しておく (あなたが)応援してほしい→応援しておいてほしい→応援しておいて(依頼・省略)