"Durchführen" means to exercise something, for instance a process like an investigation ("eine Untersuchung durhführen"). "Durchsetzen" on the other hand means to stand your position in an argument or negotiation, for instance "seine Interessen durchsetzen" meaning that you achieve your interests to be realized against others.

Hallo Etwas durchsetzen heißt etwas überwinden und sich Geltung verschaffen. Wenn man also einen starken Charakter hat ist man in der Lage sich durchzusetzen. Oder wenn die Politiker ein Gesetzt durchsetzten dann haben sie die Zustimmung einer Mehrheit und das Gesetzt kann demnach durchgesetzt werden. Durchführen ist eher im Sinne von : eine Mission durchführen. Man lässt etwas stattfinden und man hält es konsequent bis zum Ende durch. Ich hoffe meine Antwort hat dir ein wenig weitergeholfen? =)