Quiere decir "nos hemos puesto de acuerdo para", o "acordamos" [cenar]. En este caso, en efecto, sería sustituible por "tenemos el plan de".

Hola Wanda! En España es normal usar el verbo quedar así, y en la frase que has citado significa "we have arranged to meet for dinner" Otros ejemplos. Me tengo que ir, he quedado con Pablo. I have to go, I've arranged to meet Pablo. ¿Dónde quedamos? Where shall we meet? Quedé con ella a las ocho, pero me dejó plantado. I arranged to meet her at eight, but she stood me up. ¿Quedamos mañana para ir a la playa? shall we meet tomorrow to go to the beach?