To overcome an injuryは怪我を直す意味がありますが、軽い怪我に対して相応しくありません。入院とか骨折とかの場合に使われています。怪我は完全に直さないかの危惧を含めるニュアンスがあります。

Yes. I don't speak Japanese, so I won't add this as an official answer. If I understand correctly from translating your question, they mean the same.