文法的には，「成長する」が「成長」＋「する」で「育つ」は自動詞です。 意味はほぼ同じですが，ニュアンスの違いを感じる人は多いでしょう。 「育つ」は基本的に生き物が主語の場合に使われますが，「成長する」は生き物以外が主語の場合でも使います。例えば経済が成長する，企業が成長するなどです（他の例が思い浮かびません）。経済にも企業にも「育つ」を使えますが，その場合，生き物としてのニュアンスを帯びます。

成長する and 育つ share the almost same meaining, "grow". 成長する is a Chinese-Japanese word, while 育つ a Japanese-Japanese word. The difference between 成長する and 育つ is like one between "develop" and "grow",a Latin-English word and a English-English word, or like one between "cordial reception" and "hearty welcome" ※ you can use "成長する" also for creatures　. Google it with "ひと 成長", "動物 成長" , "植物 成長" https://www.google.co.jp/ ※ you can use "育つ" also for non-creatures　. Google it with "やる気 育つ", "心 育つ" ※ "育てる" is often used for non-creatures 「地場産業を育てる」 Google it with "経済 育てる"