Les 2 phrases sont parfaitement françaises. "Je cherche du travail" suggère que le "je" est quasi prêt à accepter toutes sortes d'emplois. "Je cherche un travail" laisse entendre que le "je" a un emploi précis en tête.

Можно и то, и то. Je cherche un travail. Je cherche du travail. Потом если ты хочешь что-то посложнее, то можно сказать: "Je suis à la recherche d'un emploi".