¡Hola!
Chico/a: es una palabra muy común. Se usa para gente joven (diría que entre los 12 y los 30 aproximadamente, pero depende). Para gente más mayor, utilizaríamos hombre/mujer.
Muchacho/a: tiene el mismo significado que "chico/a", pero no es una palabra tan común. En mi experiencia, la gente joven no suele usar esta palabra.
Niño/a: es una palabra muy común para niños muy pequeños (hasta los 12 años aproximadamente).
Varón: significa "hombre", "de sexo masculino" (en contraposición a "mujer", "de sexo femenino").
Dama: es una palabra poco usada en conversación. Significa "mujer" o "señora" en tratamiento de respeto. Es habitual encontrar esta palabra en frases hechas como "damas y caballeros" (ladies and gentlemen) o "las damas primero" (ladies first).