지겹다 and 지긋지긋하다 are very close in meaning. They are both common, but 지겹다 is more frequently heard.
* 지겹다 = be sick and tired (of something).
* 지긋지긋하다 = 지겹다 with a stronger register, and more descriptive.
e.g. 비가 한 달 내내 와서 이젠 지겹다 / 지긋지긋하다.
좌절하다 is unrelated to 거슬리다(not 거슬하다) and 성가시다.
* 좌절하다 (vi) = (be forced to) give up because of insurmountable obstacle.
e.g. 박 선수는 세계 챔피언에 도전했지만 너무 강한 상대를 만나서 좌절하고 말았다.
* 거슬리다 (vi) = (a thing or person) gets on your nerve, rubs you the wrong way, etc.
e.g. 빈정거리는 듯한 그의 말이 신경에/귀에/마음에 거슬렸다.
* 성가시다 (adj) = be annoying because of repeated pestering, etc.
e.g. 아이가 계속 놀아달라고 해서 너무 성가시다.