мне кажется, здесь есть смысловая ошибка. больничные койки/кровати не бронируют. обычно бронируют номера в гостиницах.

В больнице обычно занимают место, если выбирать из "кровать" "койка" - то в больнице обычно говорят о кроватях. Койки обычно в казармах (для военных например).

Наверное, "зарезервИровать" - подходящий глагол. Зарезервировать место в больнице. "Забронировать", я согласна с RadaR, ассоциируется в уме с гостиницей.

Во всяком случае, "койки", а не "кровати". А может быть, просто "место в больнице".

В странах с бесплатной гос. страховкой встают в очередь или записываются.