이제 집에 가야지요. You should go home now. - Sounds like "You're supposed to go home now. 이제 집에 가야 해요. You have to go home now. 이제 집에 가야 돼요. (This is what we would say) -야 하다 is rarely said in daily conversation, -해야 되다 is much more common. -야 하다 reminds me of a famous Korean scriptwriter, "김수현".

((‘-어야’ 다음에 쓰여)) 어떤 일이 이루어져야 하다. 이 일은 반드시 이달 안으로 끝내야 됩니다. 하다 ((동사나 형용사 뒤에서 ‘-어야 하다’ 구성으로 쓰여)) 앞말이 뜻하는 행동을 하거나 앞말이 뜻하는 상태가 되는 것이 필요함을 나타내는 말. 주방은 늘 청결해야 한다.

"두 예문 차이가 무엇입니까?(or 뭡니까?) :)