"Ничего страшного", обычно используется в разговорной речи. 

Это успокоительные слова тому, кто сделал что-то неправильно, встревожился, переживает.

В переписке пройдет не мало времени до получения Вашего ответного письма. За это время человек сам себя успокоит: "ничего страшного" ))

На мой взгляд отвечать на извинение не нужно. Человек ошибся, понял это, сам исправился и дал Вам понять, что сожалеет о своей ошибке. Вопрос исчерпан и закрыт. 

"Ничего страшного" - очень хороший вариант ответа.
А как бы вы ответили по-японски?

Ситуация не имеет отношения к бизнесу, так что деловой этикет здесь не должен сильно отличаться от обычного - достаточно быть вежливым и доброжелательным, и можно даже позволить себе некоторую неформальность. Да и вообще... я думаю, русский менее чувствителен к "регистру" речи, чем японский.
----

Как правильно ответить на извинение в бизнесе?

Есть еще выражение "деловая переписка".

В бизнесе как правильно ответить на извинение? "Ничего страшного." Это можно использовать?

Клиент русский, он написал мое имя с ошибкой
Или "ошибся в моём имени", более формально "ошибся в написании моего имени".
Это если он написал <em>ваше</em> имя, но написал его неправильно.
Если же он по ошибке испоьзовал <em>чужое</em> имя - то, например, подойдет "перепутал моё имя".

....по e-mail...
Или лучше "он написал в письме моё имя с ошибкой"

...и извинился за это.
...и извинился передо мной за это.


Как ответить на это сообщение?

Подскажите, пожалуйста.

Я бы ответил: "Не стоит беспокоиться".