日常、特に仕事では 、「契約書を取り交わす」というのが最もよく使われる表現で、それ以外ではあまり使われない言葉だと思います。 契約書（協定書）を取り交わす。約束を取り交わす。

"取り交わす", "交換する"and "交わす"・・・基本的に同じ意味です。 でも、"取り交わす"はフォーマルな(formal)な場面で使われる言葉です。 As mamie san and cat lover san said, we formally use this phrase "契約を取り交わす". In addition, "あいさつを交わす", "言葉を交わす" BUT we don't use "あいさつを交換する" EX: "プレゼントを交換する"　"名刺を交換する / 名刺を取り交わす"

前の方が答えているように、「取り交わす」という表現は、２者間で契約や協定を結ぶときに使います。 日常生活ではあまり出てきません。 例えばこんな感じです。 ・A社とB社は、９月１日をもって共同研究契約を取り交わした。 ・私は不動産者さんと不動産契約を取り交わした。 language exchangeの説明は、日本人に対しても、「言語交換」とか「ランゲージエクスチェンジ」で通じると思います。