Je suis tombée malade.

"J'ai tombé" est incorrect

Au passé composé, on utilise l'auxiliaire être avec : - les verbes pronominaux (se taire, se lever, etc...) - les verbes d'état (naître - les verbes de direction (aller, venir...) C'est bien expliqué dans ce blog : http://www.parismonterrey.com/blog/2011/07/06/le-passe-compose/