I think it's hard to explain, really. You just need to remember set phrases. About people: 1) "быть самому по себе" means to be on one's own, a loner. Он привык быть сам по себе. - He's used to being on his own. 2) "быть самому себе" - means to be one's own... Я сам себе учитель. - I am my own teacher. 3) "быть самому себе на уме" - a set phrase, it means that a person is very guarded, tight-lipped (with regard to his plans, intentions etc), guileful, protective of his own interests etc. Вообще Куник Глебову не нравился. Он был какой-то очень молчаливый, неприветливый... и сам себе на уме. - Glebov disliked Kunik. He was so very taciturn, unfriendly, secretive and wily. 4) As a set phrase, "сам по себе" can mean a person considered as a separate entity, with a focus on his or its intrinsic qualities, apart from related circumstances, events etc. Сами по себе мы для нее ничего не значили. - In ourselves we didn't value much to her. About things: 1) "сам по себе/сам собой" - "on its own" Компьютер включается сам по себе/сам собой. - The PC turns on on its own. Работа делается сама собой. - The work does itself. Уроки сами себя не сделают. - The homework won't do itself. 2) "сам по себе" - "in itself" "Сама по себе затея пойти гулять под дождем была неплоха" - In itself the idea of walking under the rain seemed to so bad". 3) Set phrase: "само собой разумеется" = "it goes without saying" Само собой разумеется, что уроки надо делать вовремя - It goes without saying that homework must be done on time" 4) Set phrase: "нечто само собой разумеющееся" = "as a matter of course" Подержанные пластиковые пакеты должны быть переработаны как нечто само собой разумеющееся. — Used plastic bags should be recycled as a matter of course. 5) Set phrase: "воспринимать как само собой разумеющееся" = "take for granted" Mир в Европе нельзя больше воспринимать как само собой разумеющееся — The piece in Europe shouldn’t be taken for granted anymore.

Он одиночка, работает сам по себе. Этот предмет интересен сам по себе. Процесс производства сосисок сам по себе ничем не примечателен. Сам по себе = один, самостоятельно, без помощи от других, независимо. Мяч никто не трогал, он укатился сам собой. Как только мы зашли в дом, дождь прекратился сам собой. Сам собой = сам, без помощи, без усилий, без внешнего вмешательства. Чтобы выучить русский ты пользовался Италки? Само собой! = конечно Мне кажется (я не специалист), что "сам собой" я слышу от людей куда реже. Часто "сам собой" взаимозаменяем с "сам по себе". Например: ...он укатился сам по себе. ...дождь прекратился сам по себе. А вот "само собой" в смысле "конечно" заменить нельзя. В итоге: если всегда говорить "сам по себе" , необходимость в использовании "сам собою" отпадет сама по себе (или сама собою)!

А тут поискал примеры и нашел интересное: Сама по себе - самостоятельно. Сама собой - не изменяй своим принципам. Оставайся сама по себе - не примыкай ни к каким союзам. Be alone. Оставайся сама собой - не изменяй себе. Be yourself.

Сам по себе - употребляется чаще, как мне кажется. Сам собой - то же самое, что и "сам по себе", но это выражение чаще слышно не в мужском, а среднем роде — "само собой". И чаще всего, как мне кажется, "дело шло само собой". Если объект не среднего рода, то я бы употреблял "сам по себе". Если среднего, то "само собой" или "само по себе".

a kind of it is сам с собой . It means do not asking the permission of other people , or it shows the ignoring of them . Сам с собой решил там что-то