Грамматическая разница в том, что "посчастливилось" не используется с существительными. Мне посчастливилось встретить моего любимого режиссёра. Мне повезло встретить моего любимого режиссёра. Мне повезло с друзьями. Нельзя сказать "мне посчастливилось с друзьями".

"посчастливилось" is expressing more luck, than "повезло ". If you are really,really lucky - тебе посчастливилось. If you are just lucky - тебе просто повезло . So, in your examples, I would say : 1. Я очень рад, мне посчастливилось увидеть на сцене этого великого артиста в дни его молодости. 2. мне повезло с темой научной работы.

Повезло is more more convenient for avoiding something bad

Согласна с Michael. Разница в эмоциональной силе. "Посчастливиться" более эмоционально окрашено чем "повезти".