No exemplo "deixa aqui que eu ajeito" este é usado como gíria, acho que seria um substituto para "deixa aqui que eu ...arrumo uma maneira de pagar a conta"

Oi, Thomas. Então, ajeitar é um verbo que seu sentido principal é dar jeito em algo, mas serve como sinônimo para outros contextos dependendo do caso concreto. Por ex: Essa mesa está quebrada. Vou ajeitar isso. O verbo Ajeitar funciona como sinônimo de consertar ou seja, vou consertar a mesa. Uma palavra que também tem o mesmo significado é "resolver". Você usa quando precisa resolver uma situação específica. No exemplo da mesa acima, você também poderia dizer em resposta a mesa está quebrada: vou resolver isso = dar jeito = ajeitar. Português é um idioma com muitos sinônimos, então você pode usar uma palavra diferente para dar um contexto a algo e vai ser entendido, não tenha medo de usar uma palavra diferente para se expressar, os brasileiros fazem isso sempre.

ajeitar significa colocar algo no lugar, arrumar, organizar algo ou alguma coisa. Deixar algo em ordem. No linguajar de rua pode significar conseguir uma vantagem.

Olá Thomas, O verbo Ajeitar é sinônimo do verbo Arrumar, que talvez você já tenha mais conhecimento. Este verbo refere-se a quando alguma coisa não está correta, está bagunçada, desarrumada e então você toma a ação de arrumar/ajeitar, deixar organizado, correto. Por exemplo: Eu arrumei a casa o dia todo, pois estava uma bagunça. Espero ter ajudado.

No exemplo da enfermeira "ajeitar" está com o sentido de arrumar já no outro com o sentido de pagar/resolver. Isso só pode ser notado (até pelos nativos) através do contexto da frase, por exemplo, se eu ler "Deixa que eu ajeito" sem nenhum contexto, logo eu imagino alguém consertando algo.