「競う」は競争するという意味があります。英語の"compete"のような意味です。 「競る」という言葉だけを聞くと、日本人は大抵、オークションで競るという意味を最初に思いつきます。「競る」はその他に、サッカーなどの試合で「ゴール前で競り合う」というように使います。

現代日本語では、意味の違いはほとんどないと思います。 -　「競る」という動詞が単独で使われることはほぼありません。「競り合う」といいます。 -　「競り市」（auction) 「競り落とす」という言葉は一応、あります。 -　「競う」の方が一般的によく使われると思います。