"Je 'puis' doesn't exist." Wrong! It exists! "si je puis me permettre " .... "Si je puis dire " Puis-je vous aider (sometimes used) ?" "Je peux" is the same than" je puis" but "je puis" is sometimes preferred in writing, especially poetry. And this is more polite than 'je peux' :)

C'est une expression verbiale qui fait partie d'un langage soutenu, (advance level) et dont certaines formes s'utilisent dans la vie de tous les jours... ex : Puis-je vous demander l'heure, s'il vous plaît. Puis-je vous aider ? Si je puis dire (si je peux ainsi dire) A ne pas confondre avec "puis" adverbe qui veut dire ensuite ou après etc...

Je peux = I can Je 'puis' doesn't exist. Je 'pus' is the verb "pouvoir" in the Passé simple

of course "je peux" it's present simple while " je puis " i don't know what is it? what's sure that isn't verb "pouvoir" :)