Ни то, ни другое. Надо: Старый год закончился, начался (наступил) новый год. Вообще само по себе, как отдельное утверждение без контекста оно звучит не совсем естественно. Как Вы хотите его использовать? Например, Вы в компании друзей и только что прозвучали куранты. Вы встаете и говорите: Ну вот, друзья, и закончился старый год, наступил новый год. Давайте за это выпьем (шампанское :) ( то есть, за новый год).

Проще сказать с Наступающим Новым Годом! Вообще, не совсем верно прошлый кончился,новый скоро начнется, скажите- прошлый год кончается, новый скоро начнётся.