Der Satz "Mit 20 bin ich dann von zu Hause ausgezogen." ist völlig richtig. ausziehen = z.B. die Wohnung der Eltern verlassen
Umziehen geschieht von einem Ort zum anderen. So kann man sagen: "Letzten Monat bin ich von Köln nach Hamburg umgezogen."
"Nächsten Monat werde ich aus meiner alten Wohnung ausziehen und in meine neue Wohnung einziehen." = Nächsten Monat werde ich umziehen.