Вариантов довольно много:
1. Я родилась 10 (десятого) декабря 1994 ( (одна) тысяча девятьсот девяносто четвертого года.
2. Я родилась в 10 декабря девяносто четвертого года ( в принципе понятно, что это 1994, потому что очень мало людей, которые родились в 1894 году, а в 2094 никто пока не родился).
3. Я родилась 10 декабря. Мне 20 лет. (тут человек посчитает и поймет, что Ваш год рождения 1994).