No English Zone : 영어 금지 구역. (or 영어 불가 구역 [or 존], where 존 is "zone")
No English Allowed: 영어 (사용) 금지. (or 영어 말하기 없기)
"영어 사용 금지" sounds formal, whereas "영어 말하기 없기" is colloquial and personal.
For example, if two boys are playing chess and talking about not allowing taking back a move, they would say "한번 두면 무르기 없기".
Nice 한복, by the way :-)