Hay muy poca diferencia, los cuatro verbos son prácticamente sinónimos y pueden usarse con personas o cosas como objeto: Elogiar / Alabar / Encomiar / Loar a Luis por su paciencia Elogiar / Alabar / Encomiar / Loar la paciencia de Luis Desde el punto de vista de la frecuencia/contexto, yo diría que ELOGIAR y ALABAR son de uso corriente tanto en el lenguaje escrito como en el lenguaje hablado; ELOGIAR es más neutro ya que ALABAR puede tener connotaciones religiosas. ENCOMIAR es comprendido por todos los hablantes pero algo rebuscado. Y LOAR es decididamente anticuado, y generalmente asociado a usos específicos para los que está lexicalizado (especialmente de tipo religioso). Estos matices son todavía más marcados en los sustantivos correspondientes. Si ELOGIO y ALABANZA son perfectamente comunes, poca gente emplearía hoy en día ENCOMIO, y mucho menos LOA. Atención porque LOAR tiene dos sustantivos derivados, uno de ellos es LOA, pero el otro -todavía más arcaizante- es LOOR.

Las tres dan la idea de destacar cualidades de algo o alguien. Las tres primeras quizá se usen más en contexto religioso. La última se puede usar más para personas. Cuando encomias a una persona le dices lo bien que está haciendo algo.

Tras la detallada respuesta de Santiago queda poco por decir, quizá únicamente te añadiría como comentario, que así como "encomiar" es un verbo muy poco usado, una palabra derivada como "encomiable" en más común encontrarla, si acaso más escrita que hablada pero en cualquier caso no es tan infrecuente. Normalmente suele ir en frases bastante fijas como: Su actitud fue encomiable. (suele tener el sentido de "meritoria", pero con un valor añadido, ya sea de valor, de tenacidad, de desprendimiento etc)