De graça: free, like free service, free product Desgraça: digrace, misfortune, tragedy

Graça: algo concedido (as in a grace from the heavens). Graça também têm outros sentidos, como em "Graças à Deus (uma responsabilidade)", ou "Isso não têm graça (não é divertido)". Desgraça: o contrário de graça. Em geral DES- equivale a UN- em inglês, é um prefixo de negação do sentido. Então respeito é o oposto de desrespeito (respect X desrespect) e o mesmo acontece com graça X desgraça (grace X disgrace). De graça: algo que é fornecido sem custo (as in a freebie). Então a gente pode facilmente derivar: Deus nos concedeu uma graça -> O nosso rei nos deu uma graça. Deus nos concedeu nosso filho de graça (God gave us our son as a grace) -> O vendedor me deu esse boneco de graça (The salesperson gave me this doll/figure for free, "as a grace, a concession").

"De graça" é uma afirmação que pode ser utilizada quando um produto ou serviço é concedido de forma gratuita. Exemplo: Fui arrumar o meu computador, mas como o dono da empresa era meu amigo, o serviço saiu de graça. "Desgraça" é utilizado geralmente para sinalizar algo ruim. Exemplo: Aconteceu uma desgraça naquela família, todos morreram em um acidente de carro.

Todas as respostas acima estão certas. Mas a palavra graça também pode ser usada informalmente para designar algo divertido (muito perto de ser sarcástico) ou até mesmo zombaria. Assim, "fazer graça" seria algo similar a "to make a slightly malicious joke" ou "to make fun of someone".

de graça = free, no price. desgraça = tragedy, disgrace